Tipos de matemáticas, temas, áreas, clasificación, ramas, divisiones

Tipos de matemáticas, temas, áreas, clasificación, ramas, divisiones.Las matemáticas abarcan una creciente variedad y profundidad de temas a lo largo de la historia , y la comprensión requiere un sistema para clasificar y organizar los diversos temas en áreas más generales de las matemáticas .
Han surgido varios esquemas de clasificación diferentes, y aunque comparten algunas similitudes, hay diferencias debidas en parte a los diferentes propósitos que sirven. Además, a medida que se siguen desarrollando las matemáticas, estos esquemas de clasificación deben cambiar también para tener en cuenta las áreas de nueva creación o los enlaces recién descubiertos entre las diferentes áreas. La clasificación se hace más difícil por algunos temas, a menudo los más activos, que se encuentran a lo largo del límite entre diferentes áreas.
Una división tradicional de las matemáticas consiste en matemáticas puras , las matemáticas estudiadas por su interés intrínseco, y las matemáticas aplicadas , matemáticas que pueden aplicarse directamente a los problemas del mundo real. Esta división no siempre es clara y muchas materias se han desarrollado como matemáticas puras para encontrar aplicaciones inesperadas más adelante. Las divisiones amplias, como las matemáticas discretas y las matemáticas computacionales , han surgido más recientemente. Un sistema ideal de clasificación permite agregar nuevas áreas a la organización del conocimiento previo y ajustar descubrimientos sorprendentes e interacciones inesperadas en el esquema. Por ejemplo, el programa Langlands ha encontrado conexiones inesperadas entre áreas que antes se pensaban no conectadas, al menos grupos de Galois , superficies de Riemann y teoría de números .

Las principales divisiones de las matemáticas

Matemáticas puras

Matemáticas recreativas

Desde los cuadrados mágicos hasta el conjunto de Mandelbrot , los números han sido una fuente de diversión y deleite para millones de personas a lo largo de los siglos. Muchas ramas importantes de las matemáticas "serias" tienen sus raíces en lo que antes era un mero rompecabezas y / o juego.

Historia y matemáticos

La historia de las matemáticas está inextricablemente entrelazada con el tema en sí. Esto es perfectamente natural: las matemáticas tienen una estructura orgánica interna, derivando nuevos teoremas de los anteriores. A medida que cada nueva generación de matemáticos se basa en los logros de nuestros antepasados, el tema en sí se expande y crece nuevas capas, como una cebolla.

Lógica matemática y fundamentos , incluida la teoría de conjuntos

Los matemáticos siempre han trabajado con la lógica y los símbolos, pero durante siglos las leyes subyacentes de la lógica se dieron por sentadas y nunca se expresaron simbólicamente. La lógica matemática , también conocida como lógica simbólica , se desarrolló cuando las personas finalmente se dieron cuenta de que las herramientas de las matemáticas se pueden usar para estudiar la estructura de la lógica en sí misma. Las áreas de investigación en este campo se han expandido rápidamente y generalmente se subdividen en varios departamentos distintos.
  • Teoría de modelos. La teoría de modelos estudia las estructuras matemáticas en un marco general. Su principal herramienta es la lógica de primer orden.
  • Teoría de conjuntos Un conjunto puede ser pensado como un conjunto de cosas distintas unidas por alguna característica común. La teoría de conjuntos se subdivide en tres áreas principales. La teoría de conjuntos ingenua es la teoría de conjuntos original desarrollada por los matemáticos a finales del siglo XIX. La teoría de conjuntos axiomática es una teoría axiomática rigurosa desarrollada en respuesta al descubrimiento de fallas serias (como la paradoja de Russell ) en la teoría de conjuntos ingenua. Se trata de conjuntos como "lo que satisface los axiomas", y la noción de colecciones de cosas sirve sólo como motivación para los axiomas. La teoría de conjuntos interna es una extensión axiomática de la teoría de conjuntos que admite una identificación lógicamente coherente deElementos ilimitados (enormemente grandes) e infinitesimales (inimaginablemente pequeños) dentro de los números reales .
  • Teoría de la prueba y matemáticas constructivas. La teoría de la prueba surgió del ambicioso programa de David Hilbert para formalizar todas las pruebas en matemáticas. El resultado más famoso en el campo está encapsulado en los teoremas de incompletitud de Gödel . Un concepto estrechamente relacionado y ahora bastante popular es la idea de las máquinas de Turing . El constructivismo es el resultado de la visión poco ortodoxa de Brouwer de la naturaleza de la lógica en sí misma; Hablando de manera constructiva, los matemáticos no pueden afirmar "O un círculo es redondo o no lo es" hasta que realmente hayan exhibido un círculo y medido su redondez.

Álgebra

El estudio de la estructura comienza con los números , primero los números naturales y los enteros familiares y sus operaciones aritméticas , que se registran en álgebra elemental . Las propiedades más profundas de estos números se estudian en la teoría de números . La investigación de métodos para resolver ecuaciones conduce al campo del álgebra abstracta , que, entre otras cosas, estudia anillos y campos , estructuras que generalizan las propiedades que poseen los números cotidianos. Las preguntas de larga data sobre la construcción de la brújula y la regla finalmente fueron resueltas por la teoría de Galois. El concepto físicamente importante de vectores , generalizado a espacios vectoriales , se estudia en álgebra lineal.

Teoria del orden

Para dos números reales distintos, uno debe ser mayor que el otro. La teoría del orden extiende esta idea a los conjuntos en general. Incluye nociones como celosías y estructuras algebraicas ordenadas .

Sistemas algebraicos generales

Dado un conjunto , se pueden definir diferentes formas de combinar o relacionar miembros de ese conjunto. Si estos obedecen ciertas reglas, entonces se forma una estructura algebraica particular. El álgebra universal es el estudio más formal de estas estructuras y sistemas.

Teoría de campos y polinomios

La teoría de campos estudia las propiedades de los campos . Un campo es una entidad matemática para la cual la suma, la resta, la multiplicación y la división están bien definidas . Un polinomio es una expresión en la que las constantes y las variables se combinan utilizando solo la suma, la resta y la multiplicación.

Anillos conmutativos y álgebras

En la teoría del anillo , una rama del álgebra abstracta, un anillo conmutativo es un anillo en el que la operación de multiplicación obedece a la ley conmutativa . Esto significa que si a y b son elementos del anillo, entonces a × b = b × a. Álgebra conmutativa es el campo de estudio de los anillos conmutativos y sus ideales, módulos y álgebras. Es fundamental tanto para la geometría algebraica como para la teoría de los números algebraicos. Los ejemplos más prominentes de anillos conmutativos son anillos de polinomios .

Análisis

Dentro del mundo de las matemáticas, el análisis es la rama que se centra en el cambio: las tasas de cambio , el cambio acumulado y las múltiples cosas que cambian en relación con (o independientemente de) entre sí. El análisis moderno es una rama vasta y en rápida expansión de las matemáticas que toca casi todas las subdivisiones de la disciplina, encontrando aplicaciones directas e indirectas en temas tan diversos como la teoría de los números , la criptografía y el álgebra abstracta . También es el lenguaje de la ciencia misma y se utiliza a través de la química , la biología y la física , de la astrofísica a la cristalografía de rayos X .

Combinatoria

Combinatoria es el estudio de colecciones finitas o discretas de objetos que satisfacen criterios específicos. En particular, se refiere a "contar" los objetos en esas colecciones ( combinatoria enumerativa ) y a decidir si existen ciertos objetos "óptimos" ( combinatoria extrema ). Incluye la teoría de gráficos , utilizada para describir objetos interconectados (un gráfico en este sentido es una red o colección de puntos conectados).
Un sabor combinatorio está presente en muchas partes de la resolución de problemas .

La geometría y la topología

La geometría se ocupa de las relaciones espaciales, utilizando cualidades fundamentales o axiomas . Dichos axiomas se pueden utilizar junto con definiciones matemáticas para puntos, líneas rectas, curvas, superficies y sólidos para sacar conclusiones lógicas.

Geometría convexa y Geometría discreta

Incluye el estudio de objetos tales como politopos y poliedros .

Geometría discreta o combinatoria

El estudio de objetos y propiedades geométricas que son discretos o combinatorios , ya sea por su naturaleza o por su representación. Incluye el estudio de formas tales como los sólidos platónicos y la noción de teselación .

Geometría diferencial

El estudio de la geometría mediante el cálculo. Está muy estrechamente relacionado con la topología diferencial . Cubre áreas como la geometría riemanniana , la curvatura y la geometría diferencial de las curvas .

Geometría algebraica

Dado un polinomio de dos variables reales , entonces los puntos en un plano donde esa función es cero formarán una curva. Una curva algebraica extiende esta noción a los polinomios sobre un campo en un número dado de variables. La geometría algebraica puede verse como el estudio de estas curvas.

Topología

Se ocupa de las propiedades de una figura que no cambian cuando la figura se deforma continuamente. Las áreas principales son la topología de conjuntos de puntos (o topología general ), la topología algebraica y la topología de variedades, que se definen a continuación.

  • Topología general.También se llama topología de conjunto de puntos .
  • Propiedades de los espacios topológicos . Incluye nociones tales como abiertas y cerradas conjuntos , espacios compactos , funciones continuas , convergencia , axiomas de separación , espacios métricos , teoría de la dimensión .
  • Topología algebraica Las propiedades de los objetos algebraicos asociados con un espacio topológico y cómo estos objetos algebraicos capturan las propiedades de dichos espacios. Contiene áreas como la teoría de la homología , la teoría de la cohomología , la teoría de la homotopía y el álgebra homológica , algunos de ellos son ejemplos de funtores . La homotopía se ocupa de los grupos de homotopía (incluido el grupo fundamental ), así como de los complejos de simplicidad y los complejos de CW (también llamados complejos de células ).
  • Colectores .Una variedad puede considerarse como una generalización n - dimensional de una superficie en el espacio euclidiano tridimensional habitual . El estudio de los colectores incluye una topología diferencial, que analiza las propiedades de las funciones diferenciables definidas en un colector.

Teoría de números

La teoría de los números es el estudio de los números y las propiedades de las operaciones entre ellos. La teoría de los números se ocupa tradicionalmente de las propiedades de los números enteros, pero más recientemente, se ha preocupado por clases más amplias de problemas que surgieron naturalmente del estudio de los números enteros.

Aritmética

Una parte elemental de la teoría numérica que se centra principalmente en el estudio de los números naturales , enteros , fracciones y decimales , así como las propiedades de las operaciones tradicionales sobre ellos: suma , resta , multiplicación y división . Hasta el siglo XIX, la aritmética y la teoría de los números eran sinónimos, pero la evolución y el crecimiento del campo han dado como resultado que la aritmética se refiera solo a la rama elemental de la teoría de los números.

Teoria elemental de numeros

El estudio de enteros en un nivel más alto que la aritmética , donde el término "elemental" aquí se refiere al hecho de que no se utilizan técnicas de otros campos matemáticos.

Teoría de los números analíticos

El cálculo y el análisis complejo se utilizan como herramientas para estudiar los enteros.

Teoria algebraica de numeros

El estudio de los números algebraicos, las raíces de los polinomios con coeficientes enteros .
Otros subcampos de teoría de números. Teoría del número geométrico ; teoría de números combinatoria ; teoría de los números trascendentales ; y la teoría numérica computacional .

Matemáticas aplicadas

Probabilidad y estadística

Teoría de la probabilidad

La teoría matemática de los fenómenos aleatorios . La teoría de la probabilidad estudia variables y eventos aleatorios , que son abstracciones matemáticas de eventos no deterministas o cantidades medidas.

  • Procesos estocásticos : una extensión de la teoría de la probabilidad que estudia colecciones de variables aleatorias, como series de tiempo o procesos espaciales .

Estadística

La ciencia de hacer un uso efectivo de los datos numéricos de experimentos o de poblaciones de individuos. La estadística incluyen no solo la recopilación, análisis e interpretación de dichos datos, sino también la planificación de la recopilación de datos, en términos del diseño de encuestas y experimentos .

Ciencias Computacionales

Análisis numérico

Muchos problemas en matemáticas no se pueden resolver exactamente en general. El análisis numérico es el estudio de métodos y algoritmos iterativos para resolver problemas de forma aproximada a un límite de error específico. Incluye diferenciación numérica , integración numérica y métodos numéricos ; cf computación científica .

Álgebra computacional

Esta área también se conoce como cálculo simbólico o cálculo algebraico . Se trata del cálculo exacto, por ejemplo con enteros de tamaño arbitrario, polinomios o elementos de campos finitos. Incluye también el cálculo con objetos matemáticos no numéricos como ideales polinomiales o series.

Ciencias físicas

Mecánica

Aborda lo que sucede cuando un objeto físico real está sujeto a fuerzas. Esto se divide naturalmente en el estudio de sólidos rígidos, sólidos deformables y fluidos, que se detalla a continuación.

Mecánica de estructuras 

La mecánica de estructuras es un campo de estudio dentro de la mecánica aplicada que investiga el comportamiento de las estructuras bajo cargas mecánicas, como la flexión de una viga, el pandeo de una columna, la torsión de un eje, la deflexión de una carcasa delgada y la vibración de un puente.

Mecánica de sólidos deformables

La mayoría de los objetos del mundo real no son puntuales ni perfectamente rígidos. Más importante aún, los objetos cambian de forma cuando son sometidos a fuerzas. Este tema tiene una superposición muy fuerte con la mecánica continua , que se ocupa de la materia continua. Se trata de nociones tales como el estrés , la tensión y la elasticidad .

Mecánica de fluidos

Los fluidos en este sentido incluyen no solo los líquidos , sino también los gases que fluyen e incluso los sólidos en ciertas situaciones. (Por ejemplo, la arena seca puede comportarse como un fluido). Incluye nociones como viscosidad , flujo turbulento y flujo laminar (su opuesto).

Mecánica de partículas

En matemáticas, una partícula es un objeto sólido, perfectamente rígido, parecido a un punto. La mecánica de partículas se ocupa de los resultados de someter las partículas a fuerzas. Incluye la mecánica celeste: el estudio del movimiento de los objetos celestes.

Otras matemáticas aplicadas

La investigación de operaciones (OR), también conocida como investigación operativa, proporciona soluciones óptimas o casi óptimas para problemas complejos. O utiliza modelos matemáticos , análisis estadístico y optimización matemática .
La programación matemática (u optimización matemática) minimiza (o maximiza) una función de valor real sobre un dominio que a menudo se especifica mediante restricciones en las variables. La programación matemática estudia estos problemas y desarrolla métodos iterativos y algoritmos para su solución.

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